Алгебра высказываний

В основе работы логических схем и устройств персонального компьютера лежит специальный математический аппарат - математическая логика. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции.
Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний. В математической логике суждения называются высказываниями.

ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно.
Например:
Земля - планета Солнечной системы. (Истинно)
2+8<5 (Ложно)
5 · 5=25 (Истинно)
Всякий квадрат есть параллелограмм (Истинно)
Каждый параллелограмм есть квадрат (Ложно)
2 · 2 =5 (Ложно)

Не всякое предложение является высказыванием:
1. Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
- “Какого цвета этот дом?”
- “Пейте томатный сок!”
- “Стоп!”
2. Не являются высказываниями и определения.
“Назовем медианой отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны”.
Определения не бывают истинными или ложными, они лишь фиксируют принятое использование терминов.
3. Не являются высказываниями и предложения типа “Он сероглаз” или “х<IMG height=19 src="Алгебра высказываний_ Высказывания_ Простые и сложные высказывания.files/par_21.gif" width=10>-4х+3=0” - в них не указано о каком человеке идет речь или для какого числа х верно равенство. Такие предложения называются высказывательными формами.

Некоторые высказывания можно разложить на отдельные части, при этом каждая такая часть будет самостоятельным высказыванием. Например, высказывание “Сегодня в 4 часа дня я был в школе, а к 6 часам вечера пошел на каток” состоит из 2 частей. Высказывание может состоять и из большего количества частей.

Высказывание, которое можно разложить на части, будем называть сложным, а неразложимое далее высказывание - простым.

Сложное высказывание получается путем объединения простых высказываний связками - частицей НЕ; союзами И; ИЛИ; НЕВЕРНО, ЧТО...; ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА..., КОГДА...; ЕСЛИ..., ТО... Значение истинности cложных высказываний зависит от истинности входящих в них простых высказываний и объединяющих их связок.

Например, даны четыре простых высказывания:
На улице идет дождь. (1)
На улице светит солнце. (2)
На улице пасмурная погода. (3)
На улице идет снег. (4)
Составим из них сложные высказывания:
На улице идет дождь и на улице светит солнце.
На улице светит солнце или на улице пасмурная погода.
Неверно что на улице идет дождь и на улице идет снег.
Тогда и только тогда на улице идет дождь, когда на улице пасмурная погода.
На улице не идет дождь и на улице не идет снег.
Если на улице идет дождь, то на улице светит солнце.

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно - 0. Простые высказывания назвали логическими переменными, а сложные высказывания логическими функциями. Значения логической функции также только 0 или 1. Для простоты записи высказывания обозначаются латинскими буквами А, В, С.
У кошки четыре ноги. Ає 1
Москва расположена на двух холмах. Вє 0

Использование знаков 0 и 1 подчеркивает некоторое соответствие между значениями логических переменных и функций в математической логике и цифрами в двоичной системе счисления. Это позволяет описывать работу логических схем ПК и проводить их анализ и синтез с помощью математического аппарата алгебры логики.
Любое устройство ПК, выполняющее действия над двоичными числами, можно рассмотреть как некоторый функциональный преобразователь.
Причем входные числа - значения входных логических переменных, а выходное число - значение логической функции, которое получено в результате выполнения определенных операций. Таким образом, этот преобразователь реализует некоторую логическую функцию.

<IMG src="Алгебра высказываний_ Высказывания_ Простые и сложные высказывания.files/par_2.3.gif">

Значение логической функции при разных сочетаниях значений входных переменных - или, как это иначе называют, наборах входных переменных - обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности. Количество наборов входных переменных (Q) можно определить по формуле:
Q=2ⁿ, где n - количество входных переменных.

Таблица может иметь вид:

<TBODY> </TBODY>

X	Y	Z	F(X, Y, Z)
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

 

Вопросы и задания.
1. Что такое высказывание?
2. Какие высказывания бывают?
3. Какие высказывания называются простыми, а какие - сложными?
4. Что не является высказыванием?
5. Какие предложения являются высказываниями?
а) 3+2=5.
б) Не шуметь!
в) y² і 0.
г) Окружностью называется множество всех точек на плоскости, расстояние которых до данной точки этой плоскости имеет заданную величину.
д) Число символов в этом предложении равно 7.
е) 3 < 2.
ж) Войдите!
6. Установите: какие из следующих предложений являются истинными, а какие - ложными высказываниями:
а) “Число 123 меньше числа 124”.
б) “Все треугольники равнобедренные”.
в) “Сумма чисел 4 и z равна 15”.
г) “(13-2*4)*4=-7”.
7. Даны высказывания:
A: “Математическая логика - важная наука”
B: “ВТ построена на законах математической логики”
Образуйте из данных высказываний сложные и подчеркните слова, при помощи которых они образованы.
8. Среди приведенных ниже высказываний укажите сложные; выделите в них простые, обозначив каждое из них буквой. Запишите с помощью букв каждое сложное высказывание.
а) “На уроке логики учащиеся отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную работу”.
б) “Мы пойдем кататься на коньках или на лыжах”.
в) “Если в данном четырехугольнике диагонали имеют равную длину, то этот четырехугольник - ромб”.
г) “-17<=0”.
д) “Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 3”.

Логика для школьников