Вики-учебник для подготовки к ЕГЭ/Раздел Информатика/Основы логики/Логические выражения и их преобразование

Материал из Letopisi.Ru — «Время вернуться домой»
Перейти к: навигация, поиск

Шаблон:Campus

Содержание

Содержательное обобщение изученного материала

Элементарные высказывания

Основным объектом изучения математической логики являются элементарные высказывания. Под термином "высказывание" мы будем понимать повествовательное предложение. При этом нас будет интересовать не построение: подлежащее - сказуемое - дополнение, а характерные свойства рассматриваемых образований: являются они истинными или ложными. Высказывания отличаются от других языковых образований тем, что мы можем присвоить им определенное значение истинности - "истина", если они истинны, значение "ложь", если они ложны. При этом мы исходим из "принципа исключенного третьего", или "третьего не дано", который состоит в том, что каждое высказывание или истинно, или ложно, и других возможностей нет. Ситуация, когда ни истинно, ни ложно, была бы и в обычном смысле неразрешимой. Этот принцип называют принципом двузначности. Все научные знания (законы и явления физики, химии и биологии, математические теоремы и т.д.), события повседневной жизни, ситуации, возникающие в процессах управления, формулируются в виде высказываний.

Примерами указанных высказываний являются:

"36 делится на 6", "Москва - столица России".

Все они имеют значение истинности "истина".

Следующие высказывания имеют значение истинности "ложь":

"Мышь больше слона",

"Молодые лошади называются щенятами",

"6 больше 8".

Повелительные ("Войдите, пожалуйста!"), вопросительные ("Знаешь ли ты информатику?") и бессмысленные предложения не являются высказываниями.

Если логика имеет дело со смыслом высказываний, то в алгебре логики работают с формулами.

Любое элементарное высказывание обозначается малой буквой латинского алфавита, совершенно так же, как в элементарной алгебре обозначаются величины, когда мы абстрагируемся от того, какие именно предметы изучаются, нас интересует только их количество и соотношение между ними. Поскольку высказывание может принимать одно из двух значений, то говорят о "переменных высказываниях". Это означает, что рассматривается не только конкретно определенное высказывание хi , но также некоторая логическая переменная х i , которую можно использовать для обозначения произвольного высказывания. Замещение переменной конкретным высказыванием означает предоставления одного из значений "истина" или "ложь".

Итак, в алгебре логики в каждом высказывании мы будем отвлекаться от всех особенностей высказывания, кроме одного - истинно оно или ложно. Истинное высказывание условно обозначается единицей (если x1 - высказывание " 36 делится на 6", то x1 = 1), а ложное - нулем (если x2 - высказывание "мышь больше слона", то x2 = 0).

Таким образом, диапазон изменения переменного - xi в алгебре логики существенно меньше, чем изменение переменного в элементарной алгебре: оно принимает только одно из двух значений - или 1, или 0.

Логические операции

Из элементарных высказываний с помощью логических связок " и", "или", "не", "если : то" и других (логических операций) строятся сложные высказывания - формулы (или функции ) алгебры логики.

В алгебре логики основными (элементарными) операциями являются:

Способы построения новых высказываний из заданных с помощью логических связок, их преобразования и установления истинности изучаются в логике высказываний с помощью алгебраических методов.

Элементарные логические операции. Демонстрация к лекции. Интерактивное средство для самостоятельной работы учащихся

Основные соотношения

0 •0 = 0, 0 \/ 0 = 0,  
0 • 1 = 0, 0 \/ 1 = 0,  
1 • 0 = 0, 1 \/ 0 = 0, EGL1.jpg
1 • 1 = 1, 1 \/ 1 = 1, EGL2.jpg

Основные тождества

X • 0 = 0, X \/ 0 = X,  
X • 1 = X, X \/ 1 = 1,  
EGL3.jpg, EGL4.jpg,  
X • X •...• X = X , X \/ X \/...\/ X = X, EGL5.jpg

Сложное высказывание

В логических задачах исходными данными являются суждения, подчас неожиданные и нередко весьма запутанные. Высказывания и связи между ними бывают иногда столь противоречивыми, что такие "твердые орешки" не под силу "раскусить" и вдумчивому математику. В данных случаях большую помощь может оказать ЭВМ как необходимый инструмент эффективного решения логических задач с многими переменными. В настоящее время нет ни одного языка программирования, который не включал бы логических операций.

Элементарные логические операции позволяют строить сложные (составные) высказывания на основе заданных высказываний.

Пусть X1, X2, X3, X4 - переменные высказывания (логические переменные), тогда следующие высказывания:

EGG1.jpg,

представляют формулы алгебры высказываний.

Так же, как и в алгебре арифметики, в алгебре логики устанавливается приоритет выполнения логических операций. Они упорядочены в следующей последовательности:

EGG2.jpg

При этом отрицание является наиболее сильной операцией, эквивалентность - самой слабой. С учетом указанного порядка две формулы:

EGG3.jpg

и

EGG4.jpg

имеют одинаковые значения. Истинность составных высказываний (логических формул), образованных в результате выполнения логических операций над простыми высказываниями, зависит от истинности исходных высказываний. Для того, чтобы иметь возможность вычислять значения истинности этих высказываний, определим базовое понятие - логическую функцию.

Логические переменные и логические функции

Сущность алгебраического подхода к логике поясним на примере элементарной алгебры - алгебры арифметики. Основные объекты алгебры арифметики - выражения (формулы), состоящие из букв, знаков операций и скобок. С формулами производят процедуры двух типов: вычисления и преобразования.

Вычисления - вместо букв подставляют числа, знаки указывают действия, а скобки их порядок. Каждая формула задает функцию. Переменные - буквы формулы.

Преобразование формулы происходит так: исходная формула или ее часть F1 заменяется другой, в результате получается новая формула F2, которая эквивалентна F1 (т.е. при любых значениях аргументов F1 и F2 дают один и тот же результат). Преобразование выражений производится на основе законов арифметики, а также полученных из них соотношений.

По аналогии строится алгебра логики. Она рассматривает логические выражения как алгебраические, которые можно преобразовать по определенным правилам. Разница заключается в том, что в выражениях алгебры логики переменные являются логическими (0 и 1). Знаки операций обозначают логические операции (логические связки).

Логической функцией называется функция f (X1,X2,...,Xn ) , которая, так же как и ее аргументы, может принимать только два значения (0 и 1). Совокупность значений аргументов будем называть набором.

Любую логическую функцию можно задать таблицей истинности, в левой части которой вписаны все возможные наборы значений ее аргументов X1,X2,...,Xn , а правая часть - столбец значений функции, соответствующих этим наборам:

№ набора X1,X2,...,Xn f(X1,X2,...,Xn)
0 Набор значений аргументов Значение функции (0 или 1)
1
...
2n - 1

Материал для изучения

Рекомендуемые ссылки

Список литературы

К разделу Вики-учебник для подготовки к ЕГЭ/Раздел Информатика/Основы логики

Назад к разделу Вики-учебник для подготовки к ЕГЭ/Раздел Информатика

Персональные инструменты
Инструменты
Акция час кода 2018

организаторы проекта