Результаты исследования учащихся в проекте Элементы алгебры логики

Текущая версия на 10:01, 13 июня 2020

[править] Авторы работы

Харчев Владимир Алексеевич

Участники группы "Историки"

[править] Проблемный вопрос (вопрос для исследования)

Как развивались логические методы?

[править] Гипотеза исследования

Логика, помогавшая математике в течение многих веков стать строгой, последовательной наукой, сама оказалась под влиянием математики.

[править] Цели исследования

• Провести анализ исторических фактов о предпосылках развития алгебры логики.
• Выяснить, какие ученые внесли вклад в развитие алгебры логики.
• Провести анализ литературы по математической логике.
• Представить проанализированные факты в виде разнообразных форм представления информаци.

[править] Результаты проведённого исследования

Мы нашли и проанализировали статьи по истории математической логики, а также об ученых, внесших вклад в развитие этой науки.

[править] История логики

Термин логика происходит от древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Логика – наука древняя. Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения древнегреческих мыслителей. Основоположником логики считают греческого мыслителя Аристотеля, жившего в 384-322 годах до н.э. Именно он подверг анализу человечес­кое мышление, такие его фор­мы, как понятие, суждение, умозаключение, и рассмотрел мышление со стороны строения, структуры, то есть с формаль­ной стороны. Так возникла формальная логика — наука, пытавшаяся найти ответ на воп­рос, как мы рассуждаем, изу­чающая логические операции и правила мышления.

Ко времени зарождения логики математика уже про­шла значительный путь развития. В течение многих ве­ков логика помогала математике стать строгой, последо­вательной наукой. Постепенно взаимная связь между математикой и логикой привела к тому, что логика оказа­лась под влиянием математики.

После падения античной цивилизации развитие мате­матики, и особенно логики, замедлилось, потому что но­вые логические идеи нередко вступали в противоречие с формами мышления церкви. Любопытно отметить: пер­вое, что было восстановлено из античной науки, - это именно логика Аристотеля.

Если обратиться к эпохе Возрождения, к истокам на­уки нового времени, нетрудно установить, что и в этом случае первыми восстанавливались и использовались именно разработанные в античности логические методы. С этого начиналась философия и математика Рене Декар­та (1596-1650). Он считал, что человеческий разум мо­жет постигнуть истину, если будет исходить из достовер­ных положений, сводить сложные идеи к простым, переходить от известного и доказанного к неизвестному, избегая каких-либо пропусков в логических звеньях ис­следований. Фактически Декарт рекомендовал науке о мышлении - логике - руководствоваться общеприняты­ми в математике принципами.

В то время и другие ученые заметили, что выводы согласно определенным схемам напоминают математические выкладки при нахождении системы уравнений и неравенств. Особенно на этой стороне логических выводов настаивал великий немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716), предложивший детальную программу логических исследований методами математики. Его считают основоположником математической логики. Это он в XVII веке пытался построить первые логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические. Это он впервые высказал мысль о возмож­ности применения двоичной системы счисления в вычис­лительной математике.

Логические высказывания Лейбница, существенно опередившие эпоху, оставались неизвестными до конца XIX столетия, когда они были найдены в архиве и опубликованы французским математиком Луи Кутюра. Логические исследования Лейбница были столь значительны, что и через 200 лет оказали существенное влияние на развитие математической логики.

Но этим идеям Лейбница суждено было получить даль­нейшее развитие лишь в середине XIX века в трудах дру­гого великого математика Джорджа Буля. Его именем назван раздел математической логики - булева алгебра. Знаменитые труды Д. Буля появились в конце 40-х - начале 50-х гг. В них отразилось убеждение Буля о возможности изучения свойств математических операций, осуществляемых не обязательно над числами. Ученый говорил о символическом методе, который он применял как к изучению дифференцирования и интегрирования, так и логическому выводу и к теоретико-вероятностным рассуждениям. Именно он построил один из разделов формальной логики в виде некоторой «алгебры», аналогичной алгебре чисел, но не сводящейся к ней.

Отдельные положения работ Буля в той или иной мере затрагивались и до, и после него другими математиками и логиками. Однако сегодня в данной области именно труды Джорджа Буля причисляются к математической классике, а сам он по праву считается основателем математической логики и тем более важнейших ее разделов - алгебры логики (булевой алгебры) и алгебры высказываний.

Большой вклад в развитие логики внесли и русские ученые П.С. Порецкий (1846-1907), И.И. Жегалкин (1869-1947).

В XX веке огромную роль в развитии математической логики сыграл Д. Гильберт (1862-1943), предложивший программу формализации математики, связанную с разработкой оснований самой математики. Наконец, в последние десятилетия XX века бурное развитие математической логики было обусловлено развитием теории алгоритмов и алгоритмических языков, теории автоматов, теории графов (С.К. Клини, А. Черч, А.А Марков, П.С. Новиков и многие другие).

Гегель (1770-1831) весьма иронично отзывался о законе противоречия и законе исключенного третьего. Последний он представлял, в частности, в такой форме: "Дух является зеленым или не является зеленым", и задавал "каверзный" вопрос: какое из этих двух утверждений истинно? Ответ на этот вопрос не представляет, однако, труда. Ни одно из двух утверждений: "Дух зеленый" и "Дух не зеленый" не является истинным, поскольку оба они бессмысленны. Закон исключенного третьего приложим только к осмысленным высказываниям. Только они могут быть истинными или ложными. Бессмысленное же не истинно и не ложно. Гегелевская критика логических законов опиралась, как это нередко бывает, на придание им того смысла, которого у них нет, и приписывание им тех функций, к которым они не имеют отношения. Случай с критикой закона исключенного третьего - один из примеров такого подхода. Критика закона исключенного третьего (Л.Бауэр) привела к созданию нового направления в логике - интуиционистской логики. В последней не принимается этот закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны. Среди отброшенных, например, оказывается доказательство путем приведения к противоречию, или абсурду.

Логическая идея не исчерпала себя и до сих пор. Она находит применение в современном разделе математической логики в виде алгебры высказываний, алгебры множеств, алгебры релейных схем, без которых программирование и проектирование компьютеров было бы невозможным.

[править] Применение математической логики

Объединение математико-логической установки с иными математическими подходами, прежде всего с вероятностно-статистическими идеями и методами - на фоне глубокого интереса к вычислительным приборам, - было во многом определяющим в формировании замысла кибернетики, как комплексного научного направления, имеющего своим предметом процессы.

В ряде случаев используется технический аппарат математической логики (синтез релейно-контактных схем); сверх того, что особенно важно, идеи математической логики это, конечно же, в теории алгоритмов, но также и всей науки в целом и свойственный ей стиль мышления оказали и продолжают оказывать очень большое влияние на те своеобразные области деятельности, содержанием которых является автоматическая переработка информации (информатика), использование в криптографии и автоматизация процессов управления (кибернетика).

Строительство логических машин - интересная глава истории логики и кибернетики. В ней запечатлены первые проекты создания искусственного разума и первые споры о возможности этого. Идея логических машин появилась в 13 веке у испанского схоластика Раймунда Луллия, рассматривалась затем Лейбницем и получило новое развитие в 19 веке, после возникновения математической логики. В 1870 году английский философ и экономист Вильям Стэнли Джевонс построил в Манчестере логическое пианино, которое извлекало из алгебраически записанных посылок следствия, выделяя допустимые комбинации терминов. Это называют также разложением высказываний на конституанты. Важно отметить возможность практического применения логической машины для решения сложных логических задач.

Современные универсальные вычислительные машины являются вместе с тем логическими машинами. Именно введение логических операций сделало их такими гибкими; оно же позволяет им моделировать рассуждения. Таким образом, арифметическая ветвь разумных автоматов соединились с логической. В 20-е годы, однако, формальная логика представлялась слишком абстрактной о метафизической для приложения к жизни. Между тем уже тогда можно было предвидеть внедрение логических исчислений в технику.

Математическая логика облегчает механизацию умственного труда. Нынешние машины выполняют гораздо более сложные логические операции, нежели их скромные прототипы начала века.

Проблема искусственного разума сложна и многогранна. Вероятно, не ошибёмся, если скажем, что окончательные границы механизации мысли можно установить лишь экспериментальным путём. Заметим ещё, что в современной кибернетики обсуждается возможность моделирования не только формальных, но и содержательных мыслительных процессов.

Основные исторические факты мы представили в виде таблицы.

[править] Основные исторические факты и имена

Содержание таблицы также было оформлено нами в виде схемы с помощью сервиса cacoo.com

[править] Вывод

В результате работы над проектом мы убедились в том, что развитие математической логики полностью обусловлено успехами математики.

[править] Полезные ресурсы

Литература по математической логике и теории алгоритмов

[править] Другие документы

Учебный проект Элементы алгебры логики