Результаты исследования учащихся в проекте Элементы алгебры логики

Версия 10:24, 25 октября 2017

Авторы работы

Харчев Владимир Алексеевич

Участники группы "Историки"

Проблемный вопрос (вопрос для исследования)

Как развивались логические методы?

Гипотеза исследования

Мы считаем, что в течение многих веков логика помогала математике стать строгой, последо­вательной наукой, но постепенно взаимная связь между этими дисциплинами привела к тому, что логика оказа­лась под влиянием математики.

Цели исследования

• Провести анализ исторических фактов о предпосылках развития алгебры логики.
• Выяснить, какие ученые внесли вклад в развитие алгебры логики.
• Провести анализ литературы по математической логике.
• Построить ленту времени истории развития логики.

Результаты проведённого исследования

Мы нашли и проанализировали статьи по истории математической логики, а также об ученых, внесших вклад в развитие этой науки.

История логики

Термин логика происходит от древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Логика – наука древняя. Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения древнегреческих мыслителей. Основоположником логики считают греческого мыслителя Аристотеля, жившего в 384-322 годах до н.э. Именно он подверг анализу человечес­кое мышление, такие его фор­мы, как понятие, суждение, умозаключение, и рассмотрел мышление со стороны строения, структуры, то есть с формаль­ной стороны. Так возникла формальная логика — наука, пытавшаяся найти ответ на воп­рос, как мы рассуждаем, изу­чающая логические операции и правила мышления.

Ко времени зарождения логики математика уже про­шла значительный путь развития. В течение многих ве­ков логика помогала математике стать строгой, последо­вательной наукой. Постепенно взаимная связь между математикой и логикой привела к тому, что логика оказа­лась под влиянием математики.

После падения античной цивилизации развитие мате­матики, и особенно логики, замедлилось, потому что но­вые логические идеи нередко вступали в противоречие с формами мышления церкви. Любопытно отметить: пер­вое, что было восстановлено из античной науки, - это именно логика Аристотеля.

Если обратиться к эпохе Возрождения, к истокам на­уки нового времени, нетрудно установить, что и в этом случае первыми восстанавливались и использовались именно разработанные в античности логические методы. С этого начиналась философия и математика Рене Декар­та (1596-1650). Он считал, что человеческий разум мо­жет постигнуть истину, если будет исходить из достовер­ных положений, сводить сложные идеи к простым, переходить от известного и доказанного к неизвестному, избегая каких-либо пропусков в логических звеньях ис­следований. Фактически Декарт рекомендовал науке о мышлении - логике - руководствоваться общеприняты­ми в математике принципами.

В то время и другие ученые заметили, что выводы согласно определенным схемам напоминают математические выкладки при нахождении системы уравнений и неравенств. Особенно на этой стороне логических выводов настаивал великий немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716), предложивший детальную программу логических исследований методами математики. Его считают основоположником математической логики. Это он в XVII веке пытался построить первые логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические. Это он впервые высказал мысль о возмож­ности применения двоичной системы счисления в вычис­лительной математике.

Логические высказывания Лейбница, существенно опередившие эпоху, оставались неизвестными до конца XIX столетия, когда они были найдены в архиве и опубликованы французским математиком Луи Кутюра. Логические исследования Лейбница были столь значительны, что и через 200 лет оказали существенное влияние на развитие математической логики.

Но этим идеям Лейбница суждено было получить даль­нейшее развитие лишь в середине XIX века в трудах дру­гого великого математика Джорджа Буля. Его именем назван раздел математической логики - булева алгебра. Знаменитые труды Д. Буля появились в конце 40-х - начале 50-х гг. В них отразилось убеждение Буля о возможности изучения свойств математических операций, осуществляемых не обязательно над числами. Ученый говорил о символическом методе, который он применял как к изучению дифференцирования и интегрирования, так и логическому выводу и к теоретико-вероятностным рассуждениям. Именно он построил один из разделов формальной логики в виде некоторой «алгебры», аналогичной алгебре чисел, но не сводящейся к ней.

Отдельные положения работ Буля в той или иной мере затрагивались и до, и после него другими математиками и логиками. Однако сегодня в данной области именно труды Джорджа Буля причисляются к математической классике, а сам он по праву считается основателем математической логики и тем более важнейших ее разделов - алгебры логики (булевой алгебры) и алгебры высказываний.

Большой вклад в развитие логики внесли и русские ученые П.С. Порецкий (1846-1907), И.И. Жегалкин (1869-1947).

В XX веке огромную роль в развитии математической логики сыграл Д. Гильберт (1862-1943), предложивший программу формализации математики, связанную с разработкой оснований самой математики. Наконец, в последние десятилетия XX века бурное развитие математической логики было обусловлено развитием теории алгоритмов и алгоритмических языков, теории автоматов, теории графов (С.К. Клини, А. Черч, А.А Марков, П.С. Новиков, Гегель и многие другие).

Гегель (1770-1831) весьма иронично отзывался о законе противоречия и законе исключенного третьего. Последний он представлял, в частности, в такой форме: "Дух является зеленым или не является зеленым", и задавал "каверзный" вопрос: какое из этих двух утверждений истинно? Ответ на этот вопрос не представляет, однако, труда. Ни одно из двух утверждений: "Дух зеленый" и "Дух не зеленый" не является истинным, поскольку оба они бессмысленны. Закон исключенного третьего приложим только к осмысленным высказываниям. Только они могут быть истинными или ложными. Бессмысленное же не истинно и не ложно. Гегелевская критика логических законов опиралась, как это нередко бывает, на придание им того смысла, которого у них нет, и приписывание им тех функций, к которым они не имеют отношения. Случай с критикой закона исключенного третьего - один из примеров такого подхода. Критика закона исключенного третьего (Л.Бауэр) привела к созданию нового направления в логике - интуиционистской логики. В последней не принимается этот закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны. Среди отброшенных, например, оказывается доказательство путем приведения к противоречию, или абсурду.

Логическая идея не исчерпала себя и до сих пор. Она находит применение в современном разделе математической логики в виде алгебры высказываний, алгебры множеств, алгебры релейных схем, без которых программирование и проектирование компьютеров было бы невозможным.

Вывод

Полезные ресурсы

Другие документы

Учебный проект Элементы алгебры логики