Из опыта работы Гурилевой Л.В. Векторы в школьном курсе геометрии

Векторы в школьном курсе геометрии

Составитель: Учитель математики Гурилева Любовь Владимировна МОУ средняя школа № 41

Одними из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. В середине прошлого столетия в работах В.Гамильтона, Ф.Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трёхмерного и многомерного пространств.

В конце 19 и начало 20 веков были созданы векторная алгебра и векторный анализ, теория поля, тензорный анализ, общая теория многомерного векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности.

В математике в настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия. До введения в школе, новых программ по математике с понятием вектора учащиеся впервые встречались в курсе физики (скорость, сила, ускорение, напряжённость магнитного поля и т.п.). Лишь при изучении тригонометрических функций в традиционном курсе школьной математики использовалось понятие вектора. Поэтому у учащихся обычно складывалось неправильное представление о том, что вектор – понятие физическое. Между тем вектор – чисто математическое понятие, которое лишь применяется в физике или других прикладных науках и которое позволяет упростить решение некоторых сложных задач.

Одним из ведущих понятий современной математики является понятие векторного пространства. Оно имеет широкие приложения в математике, в таких её разделах, как «Линейная алгебра», «Линейное программирование», «Функциональный анализ» и т.д., а также во многих разделах физики. В рамках теории трёхмерного векторного пространства может быть построен курс стереометрии, отличающийся от традиционного курса евклидовой геометрии большим изяществом и компактностью.

Преподавателям математики хорошо известны те трудности, с которыми они и учащиеся сталкиваются, когда речь идёт о решении аффинных задач.

Слабо разработана методика решения геометрических задач, в особенности аффинных, с использованием векторного аппарата. При этом особое затруднение испытывают ученики при выборе метода, с помощью которого они будут решать ту или иную задачу.

Можно выделить несколько видов задач, которые целесообразно решать с применением векторов:

- Задачи, связанные с доказательством параллельности некоторых отрезков и прямых. В задачах этого типа для решения нужно показать коллинеарность векторов, изображаемых некоторыми данными отрезками.

- Задачи, в которых доказывается, что некоторая точка делит отрезок в некотором отношении или, в частности, является его серединой;

- Задачи, в которых требуется доказать принадлежность трёх точек одной прямой.

Задача 1. В плоскости даны четырёхугольник ABCD и точка М. Докажите, что точки симметричные точке М относительно середин сторон этого четырёхугольника, являются вершинами параллелограмма.

Решение: Пусть ABCD – данный четырёхугольник, а точки N, P, Q, R – точки, симметричные точке М относительно середин отрезков АВ, ВС, СD, DA.

Согласно «правилу параллелограмма» имеем: = + , = + , = + , = + . (1) По определению разности векторов: = – и = – . Так как – = ( – ) – ( – ), то, используя равенства (1), убеждаемся, что – = 0, т.е. = . Аналогично доказывается, что = . Следовательно, = и = , а это значит, что четырёхугольник NPQR – параллелограмм.

Задача 2. В произвольном четырёхугольнике отрезок, соединяющий середины диагоналей, проходит через точку пересечения средних линий. Доказать, что этот отрезок делится её пополам.

При решении метрических задач используется скалярное произведение векторов.

Задача 3. Даны два вектора и , причем А(-1; 2; 4), В(-4; 5; 4), С(-1; -2; 2) и D(2; 1; 5).

Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение: Найдём сначала координаты векторов. = (-3; 3; 0) и = (3; 3; 3). Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов: * = (-3)*3 + 3*3 + 3*0 =0.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, значит что эти векторы перпендикулярны.

Задача 4. Найти сумму квадратов медиан треугольника, если известны его стороны a, b и c.

Векторный метод является весьма мощным средством решения не только геометрических задач, но и многих физических и технических. Учащиеся могут заинтересоваться этим методом, если им показать эффективность этого метода на специально подобранных задачах; достаточно простых по геометрическому содержанию и обучить их системе определенных правил, помогающих найти ключ к решению задач и навыки к применению этого метода. Не для всех задач необходим чертёж, однако из методических соображений следует использовать чертежи возможно чаще.