Замечательные точки треугольника

                                  Замечательные точки треугольника

                       (8 класс: «Четыре замечательные точки треугольника»)

                                        Высоты треугольника.

  Прямые, содержащие высоты треугольника, всегда пересекаются в одной точке, называемой его ортоцентром. В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника, в прямоугольном – совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном – находится вне треугольника на пересечении продолжения высот.
                                                                               
                                       Файл:Tr1.jpg
  Если Н – ортоцентр треугольника АВС, то любая из четырёх точек А, В, С и Н является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками. 

                                               Медианы.

  Можно доказать, что точка Р, расположенная внутри треугольника АВС, лежит на медиане, проведенной к стороне ВС тогда и только тогда, когда площади треугольников РАВ и РАС равны. 
                                     Файл:Tr5.jpg                                      
  Медианы треугольника пересекаются в одной точке – М, причем все три треугольника, МАВ, МАС, и МВС, имеют равные площади, или равновелики. Более того, в любом треугольнике точка М делит каждую медиану в одном и том же отношении 2 : 1, считая от вершины. 

                                      Файл:Tr6.jpg

Интересное свойство точки пересечения медиан связано с физическим понятием центра масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадет именно в эту точку.

Центр равных масс иногда называют центроидом. Именно поэтому говорят, что точка пересечения медиан – центроид треугольника. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки. Если подобную пластинку поставить на булавку так, чтобы остриё булавки попало точно в центроид, то пластинка будет находиться в равновесии.

                                       Файл:Etr10.jpg
                                                        

  Прямая Эйлера. Леонард Эйлер сделал целый ряд замечательных открытий в геометрии треугольника. Например, он доказал, что центроид М любого треугольника лежит на отрезке между центром О его описанной окружности и ортоцентром Н и делит этот отрезок в отношении ОМ : МН = 1 : 2. Прямая ОН называется прямой Эйлера данного треугольника.

_____________________________________________________________________________________________

   О других замечательных точках треугольника вы можете прочитать в Энциклопедии для детей  «Математика» издательства «Аванта +»