Замечательные точки треугольника
(Новая: Замечательные точки треугольника (8 класс: «Четыре замечательные точки треугольника») Высоты треу...) |
м |
||
| (не показана 1 промежуточная версия 1 участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | {{Править название}} | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | 8 класс: «Четыре замечательные точки треугольника» | |
| − | + | Высоты треугольника. | |
| + | Прямые, содержащие высоты треугольника, всегда пересекаются в одной точке, называемой его ортоцентром. В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника, в прямоугольном – совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном – находится вне треугольника на пересечении продолжения высот. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | [[Изображение:tr0.jpg]][[Изображение:tr1.jpg]] | ||
| − | + | Если Н – ортоцентр треугольника АВС, то любая из четырёх точек А, В, С и Н является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | Медианы. | ||
| − | + | Можно доказать, что точка Р, расположенная внутри треугольника АВС, лежит на медиане, проведенной к стороне ВС тогда и только тогда, когда площади треугольников РАВ и РАС равны. | |
| + | [[Изображение:tr5.jpg]] | ||
| − | + | Медианы треугольника пересекаются в одной точке – М, причем все три треугольника, МАВ, МАС, и МВС, имеют равные площади, или равновелики. Более того, в любом треугольнике точка М делит каждую медиану в одном и том же отношении 2 : 1, считая от вершины. | |
| + | [[Изображение:tr6.jpg]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
Интересное свойство точки пересечения медиан связано с физическим понятием центра масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадет именно в эту точку. | Интересное свойство точки пересечения медиан связано с физическим понятием центра масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадет именно в эту точку. | ||
Центр равных масс иногда называют центроидом. Именно поэтому говорят, что точка пересечения медиан – центроид треугольника. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки. Если подобную пластинку поставить на булавку так, чтобы остриё булавки попало точно в центроид, то пластинка будет находиться в равновесии. | Центр равных масс иногда называют центроидом. Именно поэтому говорят, что точка пересечения медиан – центроид треугольника. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки. Если подобную пластинку поставить на булавку так, чтобы остриё булавки попало точно в центроид, то пластинка будет находиться в равновесии. | ||
| − | + | [[Изображение:Etr10.jpg]] | |
| − | + | Прямая Эйлера. Леонард Эйлер сделал целый ряд замечательных открытий в геометрии треугольника. Например, он доказал, что центроид М любого треугольника лежит на отрезке между центром О его описанной окружности и ортоцентром Н и делит этот отрезок в отношении ОМ : МН = 1 : 2. Прямая ОН называется прямой Эйлера данного треугольника. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | ==Ссылки == | ||
| + | *Энциклопедии для детей «Математика» издательства «Аванта +» | ||
| − | [[ | + | [[Категория:Методика]] |
Текущая версия на 20:26, 30 июня 2008
| Статью необходимо переименовать- см. Имя статьи |
8 класс: «Четыре замечательные точки треугольника»
Высоты треугольника.
Прямые, содержащие высоты треугольника, всегда пересекаются в одной точке, называемой его ортоцентром. В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника, в прямоугольном – совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном – находится вне треугольника на пересечении продолжения высот.
Если Н – ортоцентр треугольника АВС, то любая из четырёх точек А, В, С и Н является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками.
Медианы.
Можно доказать, что точка Р, расположенная внутри треугольника АВС, лежит на медиане, проведенной к стороне ВС тогда и только тогда, когда площади треугольников РАВ и РАС равны.
Файл:Tr5.jpg
Медианы треугольника пересекаются в одной точке – М, причем все три треугольника, МАВ, МАС, и МВС, имеют равные площади, или равновелики. Более того, в любом треугольнике точка М делит каждую медиану в одном и том же отношении 2 : 1, считая от вершины.
Интересное свойство точки пересечения медиан связано с физическим понятием центра масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадет именно в эту точку.
Центр равных масс иногда называют центроидом. Именно поэтому говорят, что точка пересечения медиан – центроид треугольника. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки. Если подобную пластинку поставить на булавку так, чтобы остриё булавки попало точно в центроид, то пластинка будет находиться в равновесии.
Прямая Эйлера. Леонард Эйлер сделал целый ряд замечательных открытий в геометрии треугольника. Например, он доказал, что центроид М любого треугольника лежит на отрезке между центром О его описанной окружности и ортоцентром Н и делит этот отрезок в отношении ОМ : МН = 1 : 2. Прямая ОН называется прямой Эйлера данного треугольника.
[править] Ссылки
- Энциклопедии для детей «Математика» издательства «Аванта +»
