Учебный проект Взаимосвязь между элементами правильных многогранников
Содержание |
Авторы работы
Осипова Наталья
Сорокина Марина
Проблемный вопрос (вопрос для исследования)
Как взаимосвязано количество элементов правильного многогранника?
Гипотеза исследования
Верна ли теорема Эйлера для правильных многогранников, если да, то как она работает.
Цели исследования
- Рассмотреть правильные многогранники, сосчитать количество ребер, вершин и граней.
- Попытаться найти взаимосвязи между количеством элементов правильных многогранников.
- Рассмотреть биографию Эйлера, узнать о его вкладе в развитие учения о многогранниках
- Познакомиться с теоремой Эйлера и убедиться в её достоверности
План работы
- Изучить необходимую литературу
- Рассмотреть элементы многогранника
- Сравнить их
- Найти общее
- Сделать вывод
Результаты проведённого исследования
Многогранники
Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.
Многогранник называется правильным, если:
1. он выпуклый;
2. все его грани являются равными правильными многоугольниками;
3. в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.
Грани - это многоугольники, из которых составлен многогранник
Ребра - это стороны многоугольников (граней)
Вершины - это концы ребер
Диагональ – это отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани
Всего существует 5 правильных многогранников:
- Тетраэдр
- Гексаэдр
- Октаэдр
- Додекаэдр
- Икосаэдр
| Название многогранника | Число граней | Число вершин | Число рёбер | Вид грани |
|---|---|---|---|---|
| тетраэдр | 4 | 4 | 6 | правильный треугольник |
| гексаэдр (куб) | 6 | 8 | 12 | квадрат |
| октаэдр | 8 | 6 | 12 | правильный треугольник |
| додекаэдр | 12 | 20 | 30 | правильный пятиугольник |
| икосаэдр | 20 | 12 | 30 | правильный треугольник |
Леонард Эйлер
Леонард Эйлер швейцарский, немецкий и российский математик. Он принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер.
Родился Леонард Эйлер 15 апреля 1707 г. в Швейцарии в семье священнослужителей. Начальное обучение будущий ученый прошел дома под руководством отца. Добрый пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой, как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. Любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына изменили намерения отца.
Почти полжизни Эйлер провёл в России, где работал при Петербургской Академии наук, внёс существенный вклад в становление российской науки.
Леонард Эйлер был избран академиком и почетным академиком в восьми странах мира. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук.
В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Именно ему принадлежит доказательство соотношения между числом вершин, ребер и граней многогранника. Теорема Эйлера заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Более строгое доказательство дал Коши в 1811г.
В последние годы жизни ученый продолжал усердно работать, пользуясь помощью сына и ряда своих учеников. 18 сентября во время беседы с учениками он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести: “Я умираю”. Он потерял сознание и через несколько часов, так и не приходя в себя, скончался от кровоизлияния в мозг. Его похоронили на Смоленском кладбище в Петербурге.
k=3 k=4 k=5 n=3 В=4, Р=6, Г=4 Правильный тетраэдр (четырехгранник) В+Г-P=2 В=6, Р=12, Г=8
Правильный октаэдр (восьмигранник) В+Г-P=2 В=12, Р=30, Г=20
Правильный икосаэдр (двадцатигранник) В+Г-P=2 n=4 В=8, Р=12, Г=6
Правильный гексаэдр (куб) (шестигранник) В+Г-P=2 Такой правильный многоугольник не существует Такой правильный многоугольник не существует n=5 В=20, Р=30, Г=12
Правильный додекаэдр (двенадцатигранник) В+Г-P=2
Такой правильный многоугольник не существует
n – число сторон грани правильного многогранника;
k – число ребер, сходящихся в одной вершине;
В – число вершин многогранника; Р – число ребер;
Г – число граней
Теорема Эйлера
В 18 веке Леонард Эйлер доказал теорему, которая окончательно навела математический порядок в мире многогранников.
Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2.
Г + В = Р + 2
Другая формулировка:
Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2.
Г + В-Р = 2
Вывод
В ходе работы мы достигли поставленных целей:
- Заполняя таблицы и анализируя данные, мы выявили закономерные связи между количеством элементов правильных многогранников
- Мы убедились в том, что элементы всех правильных многогранников связаны по теореме Эйлера (Г + В - Р = 2)
Полезные ресурсы
- Атанасян Л.С. и др. Учебник по геометрии 10-11 класс. – Просвещение, 2007
