Школа села Началово Астраханской области/6-А класс-2008-2009

Посчитаем <math> \int_0^{\infty} e^{-x^2}\,dx </math> Возьмём функцию <math> (1+t) e^{-t^2} </math> Она ограничена сверху единицей, то есть, полагая <math> t = \pm x^2 </math>, получим

<math> \left\{ \begin{matrix} (1-x^2)e^{x^2}<1 \\ (1+x^2)e^{-x^2}<1 \end{matrix} \right. </math>

Ограничим в первом неравенстве изменение <math> x </math> промежутком <math> (0,1) </math>, а во втором - промежутком <math> (0,\infty) </math>, возведём оба неравенства в степень <math> n (n \in N) </math>, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую натуральную степень почленно. Получим:

<math> \left\{ \begin{matrix} (1-x^2)^n<e^{-nx^2} \\ 0<x<1 \end{matrix} \right. </math> и <math> \left\{ \begin{matrix} e^{-nx^2}< \frac {1} {(1+x^2)^n} \\ x>0 \end{matrix} \right.</math>

Интегрируя неравенства в указанных пределах и сведя их в одно, получим

<math> \int_0^1 (1-x^2)^n\,dx < \int_0^1 e^{-nx^2}\,dx < \int_0^\infty e^{-nx^2}\,dx < \int_0^\infty \frac {1} {(1+x^2)^n}\,dx </math>

Но так как при замене <math> u=x\sqrt{n} </math> получим

<math> K = \int_0^\infty e^{-nx^2}\,dx = \frac {1} {\sqrt{n}} \cdot K </math>

<math> x=\cos t </math> получим соответственно

<math> \int_0^1 (1-x^2)^n\,dx = \int_0^{\pi/2} \sin^{2n+1}t\,dt = \frac {2n!!} {(2n+1)!!} </math>

Замена пределов интегрирования получается из-за того, что при изменении переменной <math> t \cos t</math> меняется в пределах от 0 до <math> \pi/2 </math>

И заменяя <math> x=\mathrm{ctg}t </math>, получим

<math> \int_0^\infty \frac {1} {(1+x^2)^n}\,dx = \int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}t\,dt = \frac {\pi(2n-3)!!} {2(2n-2)!!} </math>

Здесь с пределами интегрирования аналогично: при изменении переменной t <math> \mathrm{ctg}t </math> меняется от 0 до <math> \pi/2 </math>

Последние два интеграла можно получить дважды интегрируя их по частям. Таким образом искомое К может быть заключено в интервале

<math> \sqrt{n} \cdot \frac {2n!!} {(2n-1)!!} < K < \sqrt{n} \cdot \frac {\pi(2n-3)!!} {2(2n-2)!!} </math>

Для нахождения К возведём всё неравенство в квадрат и преобразуем. В результате всё сильно упрощается до

<math> \frac {n} {2n+1} \cdot \frac {(2n!!)^2} {(2n+1)((2n-1)!!)^2} < K^2 < \frac {n} {2n-1} \cdot \frac {(2n-1)((2n-3)!!)^2} {((2n-2)!!)^2} \cdot \frac {\pi^2} {4} </math>

По формуле Валлиса можно видеть, что и левое, и правое выражение стремятся к <math> \pi/4 </math> при <math> n \rightarrow \infty </math>