Учебный проект Великая теорема Ферма

Тема работы

Великая теорема Ферма

Автор работы

Молотова Юлия

Статья

Введение История Великой теоремы Ферма неразрывно связана с историей математики, так как затрагивает все основные темы теории чисел. Она открывает уникальную возможность понять, что движет математикой и что дает вдохновение математикам, — а это, возможно, даже более важно. Великая теорема Ферма составляет центральное ядро захватывающей истории о смелости, мошенничестве, хитрости и трагедии, — истории, которая так или иначе затрагивает всех величайших героев математики. Своими корнями Великая теорема Ферма уходит в математику Древней Греции — за две тысячи лет до того, как Пьер де Ферма сформулировал свою проблему в том виде, в каком мы знаем ее сегодня. Таким образом, Великая теорема Ферма связывает основания математики, заложенные Пифагором, с наиболее изощренными идеями современной математики.

Биография создателя Пьер де Ферма (1601-1665) — французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента в Тулузе. Блестящий полиглот. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма. Пьер Ферма родился 17 августа 1601 года в гасконском городке Бомон-де-Ломань (Франция). Его отец, Доминик Ферма, был зажиточным торговцем, вторым городским консулом; мать, Клер де Лонг — преподавательница математики. В семье, кроме Пьера, были ещё один сын и две дочери. Получил юридическое образование — сначала в Тулузе, а затем в Бордо и Орлеане. В 1631 году, успешно закончив обучение, Ферма выкупил должность королевского советника парламента (другими словами, члена высшего суда) в Тулузе. В этом же году он женился на дальней родственнице матери, Луизе де Лонг. У них было пятеро детей. Быстрый служебный рост позволил Ферма стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр (1648). Именно этой должности он обязан добавлением к своему имени признака знатности — частицы de; с этого времени он становится Пьером де Ферма. Около 1652 года Ферма пришлось опровергать сообщение о своей кончине во время эпидемии чумы; он действительно заразился, но выжил. В 1660 году планировалась его встреча с Паскалем, но из-за плохого здоровья обоих учёных встреча не состоялась. Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в городе Кастр, во время выездной сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но вскоре (1675) прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма, в церкви августинцев (Тулуза). Старший сын, Клеман-Самуэль, издал посмертное собрание его трудов, из которого современники и узнали о замечательных открытиях Пьера Ферма.

Формулировка теоремы

Теорема утверждает, что:

Для любого натурального n > 2 уравнение

не имеет натуральных решений a, b и c.

История Теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было здесь поместить: Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него. Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая, иначе он непременно упомянул бы о нём в этой статье. Эйлер в 1770 доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825-для n = 5, Ламе – для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением 37, 59, 67. Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной теории чисел. Считается, что теорема стоит на первом месте по количеству неверных доказательств. В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. После Первой мировой войны премия обесценилась. В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение an + bn = cn при n > 3 может иметь лишь конечное число взаимно простых решений. Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан в сентябре 1994 года Уайлсом. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics». Доказательство основано на том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы - Шимуры. Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре обнаружился серьёзный пробел; с помощью Ричарда Тэйлора пробел удалось достаточно быстро ликвидировать. В 1995 году был опубликован завершающий вариант.

Теория чисел Математики Древней Греции со времён Пифагора коллекционировали диковинные факты о конкретных натуральных числах, иногда очень больших, но теорем о числах не доказывали (за несколькими исключениями).Лишь Диофант (III век н. э.) написал книгу «Арифметика», в которой были и отрицательные числа, и элементы символики, но, прежде всего, многочисленные факты о решении в целых числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (их стали называть диофантовыми). Эта книга (не полностью) стала известна в Европе в XVI веке, а в 1621 году она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма. Ферма постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался сложными задачами с современниками. Например, в своём письме, получившем название «Второго вызова математикам» (февраль 1657), он предложил найти общее правило решения уравнения Пелля ax2 + 1 = y2 в целых числах. В письме он предлагал найти решения при a=149, 109, 433. Полное решение задачи Ферма было найдено лишь в 1759 году Эйлером. Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел — арифметические теоремы. Несомненно влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики». Ферма обнаружил, что если a не делится на простое число p, то число ap − 1 − 1 всегда делится на p (Малая теорема Ферма). Позднее Эйлер дал доказательство и обобщение этого важного результата. Обнаружив, что число простое при k ≤ 4, Ферма решил, что эти числа простые при всех k, но Эйлер впоследствии показал, что при k=5 имеется делитель 641. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Ферма. Эйлер доказал (1749) ещё одну гипотезу Ферма (сам Ферма редко приводил доказательства своих утверждений): простые числа вида 4k+1 представляются в виде суммы квадратов (5=4+1; 13=9+4), причём единственным способом, а для чисел вида 4k+3 такое представление невозможно. Эйлеру это доказательство стоило 7 лет трудов; сам Ферма доказывал эту теорему косвенно, изобретённым им индуктивным "методом бесконечного спуска". Этот метод был опубликован только в 1879 году; впрочем, Эйлер восстановил суть метода по нескольким замечаниям в письмах Ферма и неоднократно успешно его применял. Позже усовершенствованную версию метода применяли Пуанкаре и Андре Вейль. Ферма разработал способ систематического нахождения всех делителей числа, сформулировал теорему о возможности представления произвольного числа суммой не более четырех квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырех квадратов). Ферма занимали «невозможные» задачи — задачи, не имеющие решений. Самое знаменитое утверждение о «невозможности» — Великая теорема Ферма (ВТФ). Многие арифметические открытия Ферма опередили время и были забыты на 70 лет, пока ими не заинтересовался Эйлер, опубликовавший систематическую теорию чисел. Одна из причин этого - интересы большинства математиков переключились на математический анализ.

Математический анализ и геометрия Ферма практически по современным правилам находил касательные к алгебраически кривым. Именно эти работы подтолкнули Ньютона к созданию анализа. В учебниках по математическому анализу можно найти важную лемму Ферма, или необходимый признак экстремума: в точках экстремума производная функции равна нулю. Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней и распространил формулу интегрирования степени на случаи дробных и отрицательных показателей. Развив идею Декарта, Ферма применил аналитическую геометрию к пространству. В работе «Введение к теории плоских и пространственных мест», ставшей известной в 1636 году, Ферма показал, что прямым соответствуют уравнения 1-й степени, а коническим сечениям — уравнения 2-й степени. Ферма исследовал общие виды уравнений 1-й и 2-й степеней.

Другие достижения Независимо от Паскаля Ферма разработал основы теории вероятностей. Именно с переписки Ферма и Паскаля (1654), в которой они, в частности, пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей, отсчитывает свою историю эта замечательная наука. Результаты Ферма и Паскаля были приведены к книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре» (1657), первом руководстве по теории вероятностей. Имя Ферма носит основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время (впрочем, Ферма считал, что скорость света бесконечна, и формулировал принцип более туманно). С этого тезиса начинается история главного закона физики — принципа наименьшего действия.

Великая теорема Ферма Ферма широко известен благодаря т. н. великой (или последней) теореме Ферма. Теорема была сформулирована им в 1637 году, на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы привести его на полях. Вероятнее всего, его доказательство не было верным, так как позднее он опубликовал доказательство только для случая n = 4. Доказательство, найденное в 1994 году Эндрю Уайлсом, содержит 129 страниц и опубликовано в журнале «Annals of Mathematics» в 1995 году. Простота формулировки этой теоремы привлекла много математиков-любителей, так называемых ферматистов. Даже и после решения Уайлса во все академии наук идут письма с «доказательствами» великой теоремы Ферма.

Одно из доказательств теоремы Ферма

Доказать надо следующее: нет целочисленных a,b,c, для которых выполняется формула - , при "n" больше 2. Изобразим треугольник, который соответствует этому выражению ( рисунок 1):

Такой треугольник остроугольный, то есть каждый угол, при пересечении двух сторон острый, это свойство выполняется для всякого произвольного треугольника, который соответствует формуле (1). Положим, что сторона "c" у нас задана некоторым числом, а стороны "a" и "b" меняются. Нам достаточно доказать, что при целой "c" нет двух целых "a" и "b". Мы нарисуем несколько треугольников, соответствующих установленными нами условиями - рисунок 2 (масштаб не соблюден)

Мы можем нарисовать бесчисленное число треугольников, основанием которых служит сторона "c" и которые удовлетворяют условию. При этом геометрическим местом вершин таких треугольников будет служить кривая, похожая на эллипс. На рисунке 2 показаны три треугольника. Мы можем построить на основании "С" два треугольника, таким образом, что один повернут на 180 градусов, по отношению к другому ( рисунок 3)

И рассмотрев эту фигуру, мы видим, что у нас получился параллелограмм , Стороны В и В, стороны А и А взаимно параллельны, соответствующие углы равны. Равны и стороны А=А, В=В. В этом параллелограмме есть две диагонали: диагональ "С", и диагональ "D". Все множество решений нашего уравнения будет находится в области, которая ограничена углом поворота диагонали "D" по отношению к диагонали "С"- от 0 до 90 градусов. И вершины нашего параллелограмма при этом скользят по некоторой кривой с видом эллипса. Таким образом, мы приходим к выводу, что для двух одинаковых и сложенных зеркальным образом треугольников, подчиняющихся уравнению

действительны формулы параллелограмма. А именно -

где "С" и "D" - диагонали параллелограмма, а "a" и "b" его стороны. Исходя из нашей установки, то есть сторона "С" задана постоянной, и для нее происходит поиск переменных "a" и "b", таких, чтобы выполнялось уравнение

мы видим, что изменяются стороны при изменении диагонали "D". То есть мы можем проследить, как меняется сумма квадратов сторон -

в параллелограмме, поэтому мы зададим границы изменения диагонали "D", и считаем, что достаточно рассмотреть изменение суммы. Построим ромб, в котором выполняются и формулы параллелограмма, зададим границы изменения диагонали "D" и будем иметь в виду, что стороны нашего ромба не тождественны сторонам треугольника, соответствующего условию

но сумма сторон

одинакова, так как основание "С" задано постоянным, а диагональ "D" имеет то же самое значение, которое она имеет и в исходном треугольнике (рисунок 4)

Рисунок 5

То есть, мы получаем ромб, который имеет такие же диагонали, как и у параллелограмма, полученного сложением двух исходных треугольников, отвечающих формуле

Определяем границы изменения D, в исходном случае, при С постоянной, а переменных "a" "b" (рисунок 6).

На рисунке 6, слева, нарисованы треугольники, соответствующие исходной формуле, но с разными сторонами "a" и "b". С правой стороны рисунка 6, нарисованы преобразованные треугольники, в которых 2 стороны равны, но С = с, и высота треугольника, изображенного справа, равна медиане треугольника, изображенного слева. Что соответствует равенству диагоналей параллелограмма и ромба, что наглядно видно из рисунка 5. Для параллелограмма и ромба справедлива формула -

А значит, выполняется равенство

так как диагонали обоих фигур равны. Здесь "A" и "B" - стороны ромба, "a" и "b" - стороны треугольника, соответствующего исходной формуле(1). Очевидно, что величина диагонали D изменяется в пределах от максимального значения, при равенстве a , и b , и минимального значения - при равенстве D=C. Стороны треугольника "1" на рисунке 6 подчиняются зависимости

где с – основание; а , b - стороны. При равенстве диагоналей, что соответствует треугольнику, который ниже "3", и вершина которого находится на окружности, стороны находятся в зависимости

так как треугольник прямоугольный и С его гипотенуза (рисунок 6 справа). Если С задано постоянной и стороны треугольника равны, то высота треугольника зависит от степени, в которую возведено это выражение. То есть, не соблюдая пропорций, мы можем сказать, что треугольнику "3", соответствует выражение, например

треугольнику "2",

и так далее, до нашей заданной степени "n", при этом треугольник самый высокий. Значит, при преобразовании треугольника заданного формулой (1), в равнобедренный треугольник степень изменяется (уменьшается), если задавать значения сторон в виде

то есть, наш треугольник вида

при таком преобразовании превращается в треугольник вида

при этом "m" меньше "n". Но для дальнейших доказательств это не важно. Рассматривая преобразованный треугольник, в котором стороны равны

отсюда

Из рисунок 4 имеем:

где h - высота этого преобразованного равнобедренного треугольника. То есть

исходя из условия

или иначе

Исходя из формулы

выводим

то есть диагонали D и С взаимно иррациональны, то есть для нами заданных условий -

одна из диагоналей параллелограмма будет рациональное число, другая иррациональное, так как диагонали исходного параллелограмма и диагонали рассматриваемого ромба равны. Но подставив это выражение в формулу для параллелограмма,

мы получим

то есть сумма квадратов сторон параллелограмма - иррациональное число, и оно будет иррациональным при всех n больших 2. Значит не существует тройки целых чисел, соответствующих уравнению

при n больше 2. Но для полноты доказательства необходимо рассмотреть случай, при котором степень "m" иррациональное число такого вида, при котором

рациональное число, например

и тогда наше

и не очевидна иррациональность выражения. Преобразуем формулу

перенесем и извлечем квадратный корень,

Мы разбираем вариант, при котором - рациональное число, потому, что "m" иррациональна, но при этом очевидна новая иррациональная величина

так как С - целое число, то выражение

должно содержать одним из множителей иррациональность вида,

иначе С иррациональное число, но при возведении

в квадрат мы получаем сумму квадратов сторон, и при этом иррациональность, входящая в выражение

превращается в 2, то есть сумма квадратов сторон треугольника четное число, значит обе стороны или четные, или нечетные. По основным подходам к доказательству теоремы, доказано, что величины "a" и "b" должны быть взаимно простыми и одна из величин четная, другая нечетная. А четность суммы квадратов противоречит этому условию, значит двух целых "a" и "b" в этом случае так же не существует, при целочисленном значении С. Теорема доказана.

Вывод

История загадки,которая занимала лучшие умы мира на протяжении 358 лет

Полезные ресурсы

•http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%BO

•http://www.ega-math.narod.ru/Singh/FLT.htm%7CВеликая теорема Ферма