Вики-учебник для подготовки к ЕГЭ/Раздел Информатика/Преобразование логических выражений/Материал для тренировки/Решения
Пример 1.
Алексей, Борис и Валерий нашли в земле сосуд. Рассматривая удивительную находку, они выразили предположения: Алексей: "Это греческий сосуд и изготовлен в V веке"; Борис: "Это финикийский сосуд и изготовлен в III веке"; Валерий: "Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке". Впоследствии оказалось, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?
Решение.
Обозначим символами высказывания:
х1 - "Найденный сосуд греческий",
х2 - "Найденный сосуд финикийский",
х3 - "Сосуд изготовлен в V веке",
х4 - "Сосуд изготовлен в III веке",
х5 - "Сосуд изготовлен в IV веке".
Запишем сложные высказывания - предположения школьников:
х1х3 - "Сосуд греческий и изготовлен в V веке" (Алексей).
По условию задачи известно, что это высказывание ложно: Алексей прав только в чем-то одном, т.е. х1=1, х3=0 или х1=0, х3=1. Истинным же будет высказывание:
х2х4 - "Сосуд финикийский и изготовлен в III веке" (Борис).
Рассуждая аналогично, получим:
Высказывание Валерия определяет логическое равенство: 
Итак, имеем систему уравнений:
Порассуждаем логически. Сосуд может быть изготовлен только в одной стране, то есть x1 = 0.
Сосуд может быть изготовлен только в одном веке: x3x4=0, x3x5=0, x4x5=0.
Сведем три истинных высказывания системы в одно. Чтобы новое высказывание было истинным при истинных составляющих его высказываниях, их надо логически перемножить:
Таким образом, решить задачу - значит указать, при каких значениях х1, х2, х3, х4, х5 сложное высказывание Х истинно.
Найти набор, при котором Х = 1 можно, вычисляя значения Х на всех возможных наборах, заполняя таблицу истинности.
Видно, что набор N=12 единственный, при котором Х=1 . Комбинация истинных высказываний: сосуд финикийский ( х2=1) и изготовлен в V веке ( х3=1).
| № набора | X1 X2 X3 X4 X5 | 
|
|---|---|---|
| 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 |
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 |
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |
Другой способ решения этой задачи заключается в упрощении функции Х(х1, х2, х3, х4, х5) с использованием основных тождеств, правил и законов алгебры логики. Произведем преобразования:
Учитывая, что X1X2 = 0 и X3X4 = 0 :
Учитывая, что 
и X4X5=0 , окончательно получим:
Это означает, что Х = 1 только при совпадении: х1 = 0, х2 = 1, х3 = 1, х4= 0, х5 = 0, т.е. сосуд - финикийский, изготовлен в V веке.
К разделу Вики-учебник для подготовки к ЕГЭ/Раздел Информатика/Основы логики
